博士学位专业课程一览表

注明：博士生课程应安排在第一学年完成。

博士学位专业课内容简介

0701501　有限群的表示理论 (Representation Theory of Finite Group)

介绍有限群的常表示，也就是半单群代数的表示，即特征标理论。介绍有限群的模表示，即非半单群代数的表示理论。

0701502　环与代数 （Ringes and Algebras）

介绍环与代数的基本理论，如关于半单代数结构的Wedderburn-Artin定理；环的根：包括幂零根，谐零根，Jacobson根；介绍几种常用的环与代数，如中心单代数，本原环， Goldie环。

0701503　最优算法理论 （Theory of Optimal Algorithms）

最优算法的一般性理论，算子方程直接方法的优化，求积公式的最优化，积分方程类的近似解的ε--计算复杂性等。

0701504　小波与样条（Wavelets and Splines）

样条函数论在实际应用中是一个很有用的数学工具。样条函数类具有许多优美的结构性质和极佳的逼近功能，其内容包括各种样条空间的代数，分析和逼近论性质。小波分析是近年出现的一种新的数学方法。 是Fourier分析发展的结晶。它同时具有理论深刻与应用十分广泛的双重意义。基本内包括小波级数，多分辨分析，小波分解与重构，时频局部化，积分小波变换，二进小波，框架，样条小波，非正交小波，半正交小波，半正交小波和正交小波，小波包等。

0701505 信息基计算复杂性 （Complexiy of Information Based）

本课程综合利用函数逼近论中的一些深层次的理论有机地结合概率论，泛函分析，计算数学，数论，计算机科学等众多现代数学工具中的相关理论,系统地研究定义在不同流形上的多元基本函数类在不同的计算模型（一致框架， 平均框架， 概率框架）下求积问题的“易处理性”（多项式算法的存在性），求积公式的构造，求积误差的估计， 逼近特征（逼近阶，宽度，ε熵， 信息半径等刻画计算难度的基本量）的估计以及核属于不同的基本多元函数类的方程类的逼近解的阶，计算复杂性的估计以及最优算法的构造。

0701506　傅立叶级数 （Fourier Series）

讲授一元和多元Fourier级数理论的基本知识及近代发展。它与球调和理论有密切联系。在理论上和应用中都是重要的。

0701507　正交多项式 （Orthogonal Polynomials）

介绍关于不同的测度（或加权）的正交多项式系，特别是Jacobi 多项式的基本知识，这在球调和理论中有重要应用， 在具体的物理力学问题中也有广泛的应用。

0701508　调和分析中的实方法 （Real Analysis Methods in Harmonic Analysis）
     Fourier变换的技巧，恒等逼近，旋转方法，变测度内插，外推，以及振荡积分估计和乘子的叠加思想等。

0701509  调和分析选讲 (Selected Topics of Harmonic Analysis)

调和分析在偏微分方程，多复变等其他分析学科中有重要的应用。将主要讲授调和分析的基础知识及近代发展，包括：Hardy空间与BMO空间；奇异积分算子在函数空间上的有界性；加权不等式；Littlewood-Paley理论及乘子；T(1)定理；Heisenberg群；伪微分算子等。

0701510  反问题理论与计算  (Mathematical Theory and Computational Methods of Inverse Problems)

反问题的基本概念，吉洪诺夫正则化方法，正则化参数的选择，计算的迭代方法，以及逼近的精度估计。

0701511  复分析中的若干论题 (Topics in Complex Analysis)

        解析函数的基本性质,  解析映射的性质，解析逼近和解析延拓, 调和函数和次调和函数， 零点，增长性和值分布,  调和函数和Fourier级数，H^P空间, 理想和Corona定理, H^1空间和BMO空间等。

0701512  无穷维动力系统 (Infinite Dimensional Dynamical Systems)

非线性发展方程解的渐近性质研究，耗散系统的不变集和吸引子的存在性，以及吸引子的李雅普诺夫指数、豪斯朵夫维数和分形维数估计。

0701513　组合矩阵论 Combinatorial Matrix Theory）

矩阵和图的关系，矩阵和图的谱理论，一般矩阵的组合性质，非负矩阵、(0,1) 矩阵的组合性质，不可约矩阵与几乎可约矩阵，完全不可分矩阵与几乎可分矩阵，积和式的恒等式和不等式，组合理论的矩阵方法，组合矩阵分析等。

0701514　大偏差理论 (Large Deviations)

介绍大偏差理论的典型方法及应用。主要内容：大偏差原理，指数胎紧性，压缩原理，Cramer定理，过程轨道的大偏差，经验测度的大偏差，若干应用。

0701515  随机过程的收敛（Convergence of Stochastic Processes）

课程内容：随机过程的泛函，经验测度的一致收敛，欧氏空间上的依分布收敛，度量空间上的依分布收敛，Cadlag 函数空间上一致度量， 上的Skorohod 度量，中心极限定理，

鞅.

0701516  度量误差模型（Errors-in-Variables Model）

课程内容：单解释变量模型, 向量解释变量模型, 单关联模型的推广, 多变量模型, 逼近..

0701517  随机点过程（Stochastic Point-Processes）

介绍点过程的基本理论与应用。主要内容包括点过程的定义，条件强度函数，参数估计，过程演化模拟，以及点过程的应用等。

0701518　交互作用粒子系统 (Interacting Particle Systems)

讲述耦合方法、对偶方法、谱估计方法、自由能方法和FKG不等式等数学工具。剖析几种典型模型的构造、遍历性、完全收敛性和相变现象。通过流体动力学极限，建立与非线性偏微分方程之间的联系。

070519　随机分析 (Stochastic Calculus)

主要讲述关于平方可积鞅的随机积分与随机微分方程理论。主要内容：随机积分的定义，平方变差过程，伊藤公式，随机微分方程与扩散过程，流形上的扩散过程等。

0701520  马氏过程 (II)  (Markov Processes (II))

讲述现代马氏过程的基本理论，特别是右过程的理论。主要内容：右过程概念，过程的变换，Ray-Knight方法，乘法泛函和加法泛函等等。

0701521　随机场 (Random Fields)

讲述规范和Gibbs态构造及唯一性的基本理论，研究相变现象的Peiels方法和反射正性方法，聚团展开及其应用。介绍亚稳态现象研究的新进展。

0701522　测度值过程 (Measure-Valued Processes)

介绍测度值过程领域的基本理论，方法和最新进展。主要内容：随机测度与拉普拉斯泛函，粒子系统的弱极限，Dawson-Watanabe超过程，Fleming-Viot超过程，鞅问题与轨道性质，超布朗运动，非线性方程的概率解等。

0701523　数量遗传学 (Quantitative Genetics)

基本概念，方差与协方差，遗传力分析，即因效应分析，选择效果分析，关系分析，交配效应分析，配合力分析，距离分析，基因型与环境，分子生物学等。

0701524　模糊控制理论 (Fuzzy Control Theory)

    从模糊集论和现代控制论为基础, 基于模糊推理的一种控制理论。突出模糊控制本质上是插值器的观点, 采用变论域的手段, 形成变论域自适应模糊控制理论,  适用于具有模糊环境的、较大滞后的、精度要求较高的场合。

0701525　人工神经网络 (Artificial Neural Networks)

    侧重人工神经网络的数量理论, 特别突出几个重要特点: 前馈式神经网络的插值机理, 反馈式网络的不动点原理, 学习算法的最优化机理, 神经网络作为数量方法的可视化手段, 硬件实现。

0701526　知识表示的数学理论 (Math. Theory for Knowledge Representation)

    以因素空间为理论基础, 基于概念外延与内涵相互转化的手段, 解决具有模糊性的知识表示问题。

0701527　种群动力学 (Population Dynamics)

研究种群生态学中种群动态模型所涉及的各类方程：常微分方程，微分泛函方程，反应扩散方程， 差分方程，以及这些方程的初边值问题。动态解，平衡态解，周期解等各类解的存在性，唯一性，基本的解算子半群理论，线性算子谱理论，不动点理论。有关解的定性理论，动态解的渐进性质，平衡态解的线性稳定性，分岔理论，极限环，吸引子，不变流形。矩阵理论。

0701528　结构种群模型 (Structure Population Models)

一般年龄结构种群模型，矩阵模型，具非线性生长率的生理结构种群模型，带结构变量的种群间的反应扩散模型。模型的构造：个体生命过程的描述，种群群体变化的总结。随机性模型与确定性模型（由微分泛函方程，差分方程组，测度积分算子方程等构成的数学模型）。模型的分析：模型适定性，持久生存性，参数敏感性，种群群体增长率对个体生命率的依赖等。

0701529  多元函数逼近与构造理论 (Approximation and Constructive Theory of Functions of Several Variables)

介绍多变元三角多项式、多变元指数型整函数和多变元样条等基本函数的构造性质，及其在不同度量下的不等式，多元光滑函数类的逼近的正逆定理、嵌入定理和极值理论等。

0701530 辛同调与哈密顿动力学 (Symplectic  Homology  and  Hamiltonian Dynamics)

主要内容: 闭辛流形与余切丛上Floer同调与辛同调的构造及性质， 如环结构和Poincare对偶；谱不变量；辛流形上哈密顿系统的Weinstein猜想,  退化Arnold 猜想；哈米顿微分同胚群中Hofer几何（如测地线的变分理论、哈米顿微分同胚群中单参数子群的渐近几何状态等）；流形上Largange系统的变分方法。

0701531 量子上同调与辛场论 (Quantum Cohomology  and  Symplectic Field Theory)

主要内容: 辛流形Gromov-Witten 不变量的构造与计算；切触流形上辛场论的构造及性质；辛流形上Largange子流形交的Floer同调构造；镜面对称猜测与同调镜面对称猜测介绍。

0701532  文献选读 (Seminar of Selected Papers) 

文献选读旨在培养博士生在查阅文献和了解综合国内外本研究方向的历史、现状和发展趋势的能力，为博士学位论文选题提供必要依据。博士生应在导师指导下，结合研究方向及论文选题范围，有目标地进行，要求在进入学位论文阶段前阅读中外文文献不少于80篇，其中外文原版文献不少于60篇。